『ポケモンバンク』から『Pokémon HOME』にポケモンをひっこしする場合、ポケモンが入っているボールの情報も引き継がれますか？

はい、引き継がれます。

また、『Pokémon HOME』から『ポケットモンスターソード・シールド』に連れ出しを行った場合も、ボールの情報は引き継がれます。
『ポケットモンスターソード・シールド』のストーリー中で入手できないボールでも情報は引き継がれます。